Lineare homogene Gleichungssysteme

• besitzen immer mindestens eine Lösung der Form

• die Lösungen des homogenen Systems bilden eine Unterraum des n-dimensionalen Vektorraumes

Beweis :

(gilt zu zeigen)

U = Menge aller Lösungen von

q.e.d.

Dieser Unterraum heißt Kern der Matrix A oder Nullraum von A.

Schreibweise :

• Ein homogenes Gleichungssystem besitzt entweder nur die triviale Lösung oder unendlich viele Lösungen, die einen Unterraum bilden.

Fragen :

a.) Wann existiert nur die triviale Lösung ?

• Wenn, d.h. die Dimension des ker A = 0

Wie ist das zu ermitteln ?

• Das erklärt uns Schenk wenn wir größer sind ! ! ! ( Gauß-Algorithmus)

b.) Welche Dimension hat der Unterraum der Lösungen, d.h. wie groß ist dim(ker A) ?

c.) Wie bekommt man eine Basis dieses Unterraumes ?

Antwort :

durch den Gauß-Algorithmus ! ! !