Lösung homogene Gleichungssysteme

Es sei A = (m,n)-Matrix

Angenommen, die ersten r Gleichungen ( Zeilen von A ) sind linear unabhängig. Dann sind die restlichen ( m - r ) - Gleichungen linear abhängig von den ersten r Gleichungen, d.h. es gilt :

=> Lösung der ersten r Gleichungen, ist auch Lösung der restlichen Gleichungen

=> Es brauchen nur die ersten r Gleichungen betrachtet werden ( Vorraussetzung: sie sind lind linear abhängig ! )

Wir nehmen an:

...

Gibt man beliebige Werte für die letzten n-r-Unbekannte vor, so erhält man ein quadratisches (r,r)-Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix => besitzt eine eindeutige Lösung !

Setzt man.

Man setzt

=>ist Lösung

Man setzt

analog fortsetzen !

=> Man bekommt n-r-Lösungen !

Satz: sind linear unabhängig !

Beweis:

Ausmultiplizieren ergibt => linear unabhängig !

q.e.d.

=>bilden die Basis eines (n-r)-dimensionalen Vektorraumes.

Dieser Vektorraum ist der Kern von A !

=> linear unabhängigen Spalten von A bilden eine Basis des Bildes von A !

Zeilen und Spalten sind nicht vertauschbar ! ! !

Beispiele :

1. rg(A) = n => Lösungsraum hat Dimension 0 => x = 0 ist einzige Lösung !

2. rg(A) = n-1 => Lösungen bilden einen eindimensionalen Vektorraum, d.h. es gilt

Satz :

Besitzt die Koeffzientenmatrix A des homogenen linearen Gleichungssystemsmit n Unbekannten den Rang 1, so gibt es n-r linear unabhängige Lösungen.

Jede Lösung vonist eine Linearkombination der n-r linear unabhängigen Lösungen, d.h. die allgemeine Lösung lautet:beliebig.

Beispiele :

1. 

   

   

   n = 2 ; rg(A) = 1 ; dim(L) = n-rg(A) = 1

   

   

   allgemeine Lösung :bzw.

2. 

   

   

   n = 4 ; rg(A) = 2 ; dim(L) = n-rg(A) = 4-2 = 2

   

   

   

   

   

   

   

   

   spezielle Lösungen :

3. 

   

   

   n = 3 ; rg(A) = 2 ; dim(L) = n-rg(A) = 1