Vektorrechnung und analytische Geometrie
Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, dessen Eigenschaften durch seine Länge und seine Richtung bestimmt werden. Es ist wichtig nicht zu denken, es gehe um den O rt an dem er sich befindet. Dies ist lediglich bei den Ortskoordinaten eines Punktes der Fall. Bei jedem anderen Vektor spielt es absolut keine Rolle wo er sich befindet !!!
Skalarprodukt ( inneres Produkt )
Definition:
Unter dem Skalarprodukt
zweier Vektorenund
mit
jeweils n Elementen versteht man die reelle Zahl
mit
Eigenschaften des Skalarproduktes:
(
Kommutativgesetz )
(
Distributivgesetz )
istoder
ergibt
sich
falls
Geometrische Interpretation des Skalarproduktes:
Betrag eines Vektors s
(Länge) :Norm
von a
Kosinussatz :
Zweite Definition des
Skalarproduktes :
Eigenschaften:
gilt
genau dann, wenn
und
senkrecht
aufeinenander stehen (orthogonal : Die beiden Vektoren schliessen
einen rechten Winkel ein
)
gilt
genau dann, wenn
und
gleichgerichtet
sind
gilt
genau dann, wenn
und
entgegengesetzt
gerichtet sind
Allgemein gilt die
Ungleichung von Schwarz-Tunjakowski :
Beweis:d.h.
Parallelogrammgleichung
:
Beweis: Wäre zu kompliziert um es hier zu zeigen und ausserdem überflüssig. Wir glauben das mal einfach.