Vektorrechnung und analytische Geometrie

Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, dessen Eigenschaften durch seine Länge und seine Richtung bestimmt werden. Es ist wichtig nicht zu denken, es gehe um den O rt an dem er sich befindet. Dies ist lediglich bei den Ortskoordinaten eines Punktes der Fall. Bei jedem anderen Vektor spielt es absolut keine Rolle wo er sich befindet !!!

Skalarprodukt ( inneres Produkt )

Definition:

Unter dem Skalarprodukt zweier Vektorenundmit jeweils n Elementen versteht man die reelle Zahlmit

Eigenschaften des Skalarproduktes:

1. ( Kommutativgesetz )

2. 

3. ( Distributivgesetz )

4. istoderergibt sich

5. falls

Geometrische Interpretation des Skalarproduktes:

Betrag eines Vektors s (Länge) :Norm von a

Kosinussatz :

Zweite Definition des Skalarproduktes :

Eigenschaften:

1. gilt genau dann, wennundsenkrecht aufeinenander stehen (orthogonal : Die beiden Vektoren schliessen einen rechten Winkel ein )

2. gilt genau dann, wennundgleichgerichtet sind

3. gilt genau dann, wennundentgegengesetzt gerichtet sind

4. Allgemein gilt die Ungleichung von Schwarz-Tunjakowski :

   Beweis:d.h.

5. 

6. Parallelogrammgleichung :

   Beweis: Wäre zu kompliziert um es hier zu zeigen und ausserdem überflüssig. Wir glauben das mal einfach.