Zahlenfolgen

Definition und Grundeigenschaften

Definition:

Ordnet man jeder Zahlgenau eine Zahlzu, so entsteht durcheine (unendliche) Zahlenfolge bzw. Folge.

ist das n-te Glied der Folge

Schreibweise:

Beispiele:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. Folgen werden zum Teil auch rekursiv definiert. Z.B.

Arithmetische Folge:

Hat folgende Bildungsvorschrift:beliebig;mit

Beispiele:

Geometrische Folge:

Hat folgende rekursive Bildungsvorschrift:;mit

Beispiel:

Definition:

Eine Folgeheißt

a) monoton steigend bzw. streng monoton steigend, wenn für allegilt:bzw.

b.) monoton fallend bzw. streng monoton fallend, wenn für allegilt:bzw.

Beispiele:

• monoton und streng monoton steigend

• streng monoton fallend

• monoton fallend und monoton steigend

Definition:

Die Folgeheißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, falls mindestens einbzw.existiert, so dassbzw.für alle

K bzw k heißen obere bzw. untere Schranke von. Die kleinste obere Schranke heißt obere Grenze und die größte untere Schranke heißt untere Grenze.

Eine Folge heißt beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.

Beispiele:

• 

  alle reellen Zahlen kleiner gleich 1 sind untere Schranken

  Untere Grenze = 1

  obere Schranke existiert nicht

  => Folge ist nicht beschränkt

• 

  alle reellen Zahlen größer gleich -2 sind obere Schranken

  obere Grenze = -2

  untere Schranke ist nicht existent

  => Folge ist unbeschränkt

• =>

  => Untere Schranke:

  => Untere Grenze: 0

  => Obere Schranke:

  => Obere Grenze: 1 (kann man noch nicht genau bestimmen)

  Die Folge ist auf jeden Fall irgendwo zwischen 0 und 1 beschränkt

• 

  Vermutung: monoton fallend

  Nachweis:oder

  

  Obere Schranke:

  Obere Grenze:

  Untere Schranke:

  Untere Grenze: 0

Alternierende Folge:

Wechselt von Glied zu Glied das Vorzeichen bezeichnet man dies als alternierende Zahlenfolge.

Definition:

Eine Folgemitheißt alternierende Folge

Beispiel:

=> alternierend

=> untere Grenze: -1

=> obere Grenze:

==> Folge ist beschränkt

Vorsicht!!!

Es gibt Folgen, die weder monoton noch alternierend sind und dennoch beschränkt sind, z.B.