Häufungspunkt und Grenzwert

Häufungspunkt:

Definition:

Das Intervallmitundheißt e-Umgebung oder Umgebung von a.

Schreibweise:

Beispiel:

Definition:

liegen innerhalb jeder Umgebung von a unendlich viele Glieder einer Folge, so heißt a Häufungspunkt der Folge.

Beispiele:

• 

  => 2 Häufungspunkte: -1 und 1

• 

  Werte nähern sich 1 an

  => Häufungspunkt: 1

Grenzwert:

Erste Definition des Grenzwertes:

Liegen innerhalb jeder Umgebung von a fast alle Glieder der Folge, d.h. alle bis auf endlich viele Glieder, so heißt a Grenzwert von.

Die Folgekonvergiert gegen den Grenzwert a bzw.heißt konvergent.

Schreibweise:oderfür

Beispiele:

Zweite Definition des Grenzwertes:

heißt Grenzwert der Folge, wenn zu jedem beliebig kleineneine natürliche Zahlso existiert, dassfür alle

Beispiele:

• 

  

  entspricht der größten ganzen Zahl, die kleiner gleichist !

  • 

Satz:

Jede konvergente Zahlenfolge besitzt genau einen Grenzwert.

Beweis (indirekt):

hat zwei verschiedene Grenzwerte a und a'

Es seibeliebig vorgegeben. Dann gibt es zwei Zahlenund, so dass

fürund

für

Es sei

Dann gilt

=>für alle

=>WIDERSPRUCH!!!

Definition:

Eine Folge die keinen Grenzwert besitzt heißt divergent. Existiert zu jedemein Element, so dassfür allebzw.für alle, so heißt die Folgebestimmt divergent.

Man sagt auch die Folge hat den uneigentlichen Grenzwertbzw.

Schreibweise:bzw.

Definition:

Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent.

Beispiele für bestimmt divergente Folgen:

• 

  

  • k = 5:

    

  • k = -10:

    

Satz:

Jede konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt.

Satz:

Jeder Grenzwert einer Folge ist auch ein Häufungspunkt der Folge.

Hinweis:

Hat eine Folge nur einen Häufungspunkt muss sie nicht konvergent sein !

Beispiel:

Häufungspunkt der Folge entspricht 1, aber sie ist bestimmt divergent gegen