Grundbegriffe der Logik und Mengenlehre

Grundbegriffe der Aussagenlogik

Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. --> Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten.

Es gibt keine Aussage die sowohl wahr oder falsch ist. --> Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch.

Verknüpfung von logischen Aussagen

1. Negation

ist A wahr, so ist die Negation (oder nicht A) falsch oder umgekehrt.

2. Konjunktion

A und B () ist nur dann wahr wenn sowohl A als auch B wahr sind.

A	B		Beispiel: Sowohl 7 als auch 3 sind Primzahlen.

w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	f

3. Disjunktion oder Alternative

A oder B () sind nur falsch wenn A oder B falsch sind.

A	B		Beispiel: 7 oder 4 ist eine Primzahl.

w	w	w
w	f	w
f	w	w
f	f	f

4. Implikation

Wenn A, so B () ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.

A	B			Beispiel:
w	w	w	Aus A folgt B	A: P ist ein Quadrat.
w	f	f	A impliziert B	B: P ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten. (wahr)
f	w	w		A: n ist durch 4 teilbar.
f	f	w		B: n ist durch 2 teilbar. (wahr)

A ist hinreichende Bedingung für B.

Gilt A, so ist sicher auch B richtig, andererseits kann B richtig sein wenn A nicht gilt.

Die Umkehrung einer Implikation (falsch) gilt nicht !

Beispiel: n ist durch 2 teilbar, aber z.B. 6 ist nicht durch 4 teilbar.

B in einer Implikation heißt notwendige Bedingung für A, d.h. falls die Aussage B falsch ist, ist auch die Aussage A falsch.

5. Äquivalenz

A genau dann, wenn B () Aus A folgt B und umgekehrt. A äquivalent B.

A ist notwendige und hinreichende Bedingung für B und umgekehrt.

Beispiel:

n ist eine gerade Zahl

n ist durch 2 teilbar

P ist ein Viereck mit Winkeln von jeweils 90°