Mathematik 2.Semester - 4.Übung


Aufgabe 1:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die allgemeinen Lösungen folgender homogener Gleichungssysteme:


a.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + ( 2 * 1.Zeile )

2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile

3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile

Aus der 3.Zeile kann man direktablesen !!!

1. Lösung :

allgemeine Lösung :






b.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile + ( 2 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile

Aus der 2.Zeile kann man direktablesen !!!

1. Lösung :

2. Lösung :

allgemeine Lösung :



Aufgabe 2:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-algorithmus die allgemeinen Lösungen folgender inhomogener Gleichungssysteme:


a.)

Lösung: Rangbestimmung

4.Zeile = 4.Zeile + 1.Zeile

4.Zeile = 4.Zeile - ( 3 * 2.Zeile )

4.Zeile = 4.Zeile - ( 8 * 3.Zeile )

eindeutige Lösung :






b.) ( beachte Aufgabe 1b )

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile - ( 2 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile

1. Lösung :

allgemeine Lösung :



Aufgabe 3:

Berechnen Sie die Lösungen folgender linearer Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus und bestimmen Sie dabei den Rang der Koeffizientenmatrix sowie ( falls existent ) die Determinante der Koeffizientenmatrix.


a.)

Lösung: Rangbestimmung

4.Zeile = 4.Zeile + 2.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )

2.Zeile = 2.Zeile + ( 2 * 1.Zeile ) 4.Zeile = 4.Zeile - ( 3 * 3.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile 4.Zeile = 4.Zeile + ( 2 * 3.Zeile )

1. Lösung :

2. Lösung :

allgemeine Lösung :






b.)

Lösung: Rangbestimmung

4.Zeile = 4.Zeile + 3.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile + ( 2 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 2.Zeile ) 4.Zeile = 4.Zeile - 3.Zeile

3.Zeile = ( 4 * 3.Zeile ) - 2.Zeile

1. Lösung :

allgemeine Lösung :



Aufgabe 4:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus die allgemeinen Lösungen folgender inhomogener Gleichungssysteme:


a.)

Lösung: Rangbestimmung

4.Zeile = ( 2 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile - 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile + ( 3 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile + ( 2 * 2.Zeile )

4.Zeile = 4.Zeile + ( 4 * 3.Zeile )

1. Lösung :

eindeutige Lösung :






b.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = ( 3.Zeile * 10 ) - ( 1.Zeile * 3 )

2.Zeile = ( 2.Zeile * 2 ) - 1.Zeile

3.Zeile = ( 3.Zeile * 11 ) + ( 2.Zeile * 25 )

1.Lösung :

eindeutige Lösung :