Mathematik 2.Semester - 3.Übung


1. Aufgabe :

Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen folgender inhomogener linearer Gleichungssysteme



a.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile - (( 2* 2.Zeile ) + 1.Zeile )

2.Zeile = 2.Zeile - ( 2 * 1.Zeile )

3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile

1. Lösung

allgemeine Lösung

1. Lösung + allgemeine Lösung von Aufgabe 1a des zweiten Übungsblattes






b.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile + 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )

eindeutige Lösung

Lösung






c.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile + 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )

es existiert keine Lösung , da zwischen der zweiten und der dritten Gleichung ein eindeutiger Widersspruch entstanden ist. In der zweiten Gleichung wäreund in der dritten Gleichung.






d.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile + 1.Zeile

2.Zeile = 2.Zeile + ( 2 * 1.Zeile )

1. Lösung

spezielle Lösung des inhomogenen Systems

2.Lösung

allgemeine Lösung des homogenen Systems

allgemeine Lösung






e.)

Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )

2.Zeile = 2.Zeile - ( 4 * 1.Zeile )

keine Lösung, da Widersspruch in den Gleichungen 2. und 3.


Aufgabe 2:

Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen des folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystems:



Lösung: Rangbestimmung

3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 2.Zeile )

2.Zeile = ( 4 * 2.Zeile ) - 1.Zeile

3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile

1.Lösung

spezielle Lösung des inhomogenen Systems


allgemeine Lösungen des homogenen Systems

1.Lösung

2.Lösung


allgemeine Lösung



















Aufgabe 3:

Für welche Wertebesitzt folgendes System linearer Gleichungen

a.) genau eine Lösung

Lösung: Determinantenbestimmung

das System besitzt genau eine Lösung, wenn die Determinante ungleich Null ist.

Mitternachtsformel

Wennundgibt es genau eine Lösung!!!


b.) keine Lösung

Lösung: Gültigkeit vonund

a = -2:

Rangbestimmung der Koeffizientenmatrix

3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile + ( 4 * 2.Zeile )

Rangbestimmung der erweiterten Koeffizientenmatrix

3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile + ( 4 * 2.Zeile )

Für a = -2 existiert keine Lösung

a = 3:

Rangbestimmung der Koeffizientenmatrix

3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile

Rangbestimmung der erweiterten Koeffizientenmatrix

3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile

Für a = 3 existieren unendlich viele Lösungen



c.) unendlich viele Lösungen

Lösung: Für a = 3 existieren unendlich viele Lösungen, wie oben bereits berechnet.