Rang einer Matrix
Größtmögliche Anzahl von linear unabhängigen Spalten einer Matrix. Rang 0 gilt nur für die Nullmatrix. Alle anderen Matrizen haben mindestens den Rang 1. Z.B. bei einer ( 4,4 )-Matrix ist der maximale Rang = 4.
Rang einer Matrix = rg( A ) ( A ist die Matrix ) = Spaltenrang
Die Maximalanzahl der linear unabhängigen Zeilen ( Zeilenrang ) ist identisch mit rg(A)
Folgerungen:
A hat die Dimension ( m,n ), dann folgt daraus
<=> A = N ( Nullmatrix )
Beispiele:
Zeile 1 + Zeile 2 = Zeile 4
Zeile 2 + Zeile 3 = Zeile 1
d.h. die Zeilen 1 und 4 sind als Linearkombinationen der Zeilen 2 und 3 darstellbar : rg(A) = 2
Die Spalten 2, 3 und 4 sind identisch, und ausserdem Nullspalten, und können deshalb gestrischen werden, da sie für den Rang der Matrix keine Rolle spielen : rg(B) = 1
Satz:
Ranggleichung : Für beliebige Matrizen B und C gilt :
für C = E gilt :
für B = E gilt :
Satz:
B quadratisch und regulär, gilt : und
Beweis:
daraus folgt :
Satz:
Jede quadratische Matrix A kann mit 2 regulären Matrizen B und C von links nach rechts so multipliziert werden, dass eine Diagonalmatrix D entsteht.
Daraus folgt :
daraus folgt :