Lineare homogene Gleichungssysteme
besitzen immer mindestens eine Lösung der Form
die Lösungen des homogenen Systems bilden eine Unterraum des n-dimensionalen Vektorraumes
Beweis :
(gilt zu zeigen)
U = Menge aller Lösungen von
q.e.d.
Dieser Unterraum heißt Kern der Matrix A oder Nullraum von A.
Schreibweise :
Ein homogenes Gleichungssystem besitzt entweder nur die triviale Lösung oder unendlich viele Lösungen, die einen Unterraum bilden.
Fragen :
a.) Wann existiert nur die triviale Lösung ?
Wenn, d.h. die Dimension des ker A = 0
Wie ist das zu ermitteln ?
Das erklärt uns Schenk wenn wir größer sind ! ! ! ( Gauß-Algorithmus)
b.) Welche Dimension hat der Unterraum der Lösungen, d.h. wie groß ist dim(ker A) ?
c.) Wie bekommt man eine Basis dieses Unterraumes ?
Antwort :
durch den Gauß-Algorithmus ! ! !