Inhomogene
Gleichungssysteme
Nicht jedes inhomogene Gleichungssystem besitzt eine Lösung !
und
keine
Lösung ! ! !
Ist m = n und rg(A) =
n; d.h. A = regulär, dann besitztgenau
eine Lösung
Verhältnis von Lösungen des homogenen und inhomogenen Systems
Es
seienund
Lösungen
von
.
Dann ist
Lösung
von
Beweis
:
q.e.d.
Es seiLösung
von
und
eine
beliebige Lösung von
.
Dann ist
wieder
eine Lösung von
.
Beweis
:
Satz :
Für die Lösungsmenge
des inhomogenen Systemsgilt
:
wobei
eine
spezielle Lösung von
ist.
( L(A, b) steht für Lösungsmenge )
Beweis :
ist
Lösung von
Annahme : V = Lösung
von
Dann gilt :
,
wobei
Lösung
von
und
Widerspruch
! ! !
Probleme :
Bestimmung der allgeimen Lösung des homogenen Systems, d.h. der Basis von ker A
Bedingungen für
die Existenz einer Lösung des inhomogenen Systems und
Bestimmung einer speziellen Lösung von!