Lösung homogene Gleichungssysteme
Es sei A = (m,n)-Matrix
Angenommen, die ersten r Gleichungen ( Zeilen von A ) sind linear unabhängig. Dann sind die restlichen ( m - r ) - Gleichungen linear abhängig von den ersten r Gleichungen, d.h. es gilt :
=> Lösung der ersten r Gleichungen, ist auch Lösung der restlichen Gleichungen
=> Es brauchen nur die ersten r Gleichungen betrachtet werden ( Vorraussetzung: sie sind lind linear abhängig ! )
Wir nehmen an:
...
Gibt man beliebige Werte für die letzten n-r-Unbekannte vor, so erhält man ein quadratisches (r,r)-Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix => besitzt eine eindeutige Lösung !
Setzt man.
Man setzt
=>ist Lösung
Man setzt
analog fortsetzen !
=> Man bekommt n-r-Lösungen !
Satz: sind linear unabhängig !
Beweis:
Ausmultiplizieren ergibt => linear unabhängig !
q.e.d.
=>bilden die Basis eines (n-r)-dimensionalen Vektorraumes.
Dieser Vektorraum ist der Kern von A !
=> linear unabhängigen Spalten von A bilden eine Basis des Bildes von A !
Zeilen und Spalten sind nicht vertauschbar ! ! !
Beispiele :
rg(A) = n => Lösungsraum hat Dimension 0 => x = 0 ist einzige Lösung !
rg(A) = n-1 => Lösungen bilden einen eindimensionalen Vektorraum, d.h. es gilt
Satz :
Besitzt die Koeffzientenmatrix A des homogenen linearen Gleichungssystemsmit n Unbekannten den Rang 1, so gibt es n-r linear unabhängige Lösungen.
Jede Lösung vonist eine Linearkombination der n-r linear unabhängigen Lösungen, d.h. die allgemeine Lösung lautet:beliebig.
Beispiele :
n = 2 ; rg(A) = 1 ; dim(L) = n-rg(A) = 1
allgemeine Lösung :bzw.
n = 4 ; rg(A) = 2 ; dim(L) = n-rg(A) = 4-2 = 2
spezielle Lösungen :
n = 3 ; rg(A) = 2 ; dim(L) = n-rg(A) = 1