Grundbegriffe der Logik und Mengenlehre
Grundbegriffe der Aussagenlogik
Beispiel: |
7 ist eine Primzahl |
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WAHR |
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--> |
FALSCH |
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2 + 2 = 5 |
--> |
FALSCH |
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--> |
WAHR |
Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. --> Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten.
Es gibt keine Aussage die sowohl wahr oder falsch ist. --> Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch.
Verknüpfung von logischen Aussagen
1. Negation
ist
A wahr, so ist die Negation (oder
nicht A) falsch oder umgekehrt.
A |
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Beispiel: |
7 ist eine Primzahl |
WAHR |
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7 ist keine Primzahl |
FALSCH |
w |
f |
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FALSCH |
f |
w |
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WAHR |
2. Konjunktion
A und B ()
ist nur dann wahr wenn sowohl A als auch B wahr sind.
A |
B |
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Beispiel: Sowohl 7 als auch 3 sind Primzahlen. |
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w |
w |
w |
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w |
f |
f |
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f |
w |
f |
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f |
f |
f |
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3. Disjunktion oder Alternative
A oder B ()
sind nur falsch wenn A oder B falsch sind.
A |
B |
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Beispiel: 7 oder 4 ist eine Primzahl. |
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w |
w |
w |
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w |
f |
w |
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f |
w |
w |
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f |
f |
f |
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4. Implikation
Wenn A, so B ()
ist nur dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist.
A |
B |
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Beispiel: |
w |
w |
w |
Aus A folgt B |
A: P ist ein Quadrat. |
w |
f |
f |
A impliziert B |
B: P ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten. (wahr) |
f |
w |
w |
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A: n ist durch 4 teilbar. |
f |
f |
w |
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B: n ist durch 2 teilbar. (wahr) |
A ist hinreichende Bedingung für B.
Gilt A, so ist sicher auch B richtig, andererseits kann B richtig sein wenn A nicht gilt.
Die Umkehrung einer Implikation (falsch)
gilt nicht !
Beispiel: n ist durch 2 teilbar, aber z.B. 6 ist nicht durch 4 teilbar.
B in einer Implikation heißt notwendige
Bedingung für A, d.h. falls die Aussage B falsch ist, ist auch
die Aussage A falsch.
5. Äquivalenz
A genau dann, wenn B ()
Aus A folgt B und umgekehrt. A äquivalent B.
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A |
B |
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f |
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f |
f |
f |
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w |
f |
f |
f |
f |
f |
w |
w |
w |
w |
A ist notwendige und hinreichende Bedingung für B und umgekehrt.
Beispiel: |
n ist eine gerade Zahl n ist durch 2 teilbar |
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P ist ein Viereck mit Winkeln von jeweils 90° |