INTEGRATION DURCH PARTIALBRUCHZERLEGUNG
Für gebrochen rationale Funktionen, mit Nennerfunktion, die einfache reele Nullstellen besitzt
1.BEISPIEL:
Die quadratische Funktion im Nenner wird mit Hilfe ihrer Nullstellen x1 = -2 und x2 = -4 in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegt:
=
Für die Partialbruchzerlegung wählen wir den Ansatz:
=
+
Für die Addition wird auf den Hauptnenner erweitert und dann ausmultipliziert:
=
=
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich, dass der Ausdruck vor dem x (A+B) sieben ergeben muss und (-4A-2B) dem entsprechend -12 ( siehe Ausgangsgleichung): 7x-12 = (A+B)x (-4A-2B)
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
7= A+ B
-12=-4A-2B
Umstellen nach den Parametern A und B: A= (7-B)
-12=-4(7-B)-2B
-12=-28 +4B -2B |+28
+16= 2B
B=8
A= (7-8)= -1
Man kann also schreiben:
=
=
Die
Stammfunktion bilden:
Da
der natürliche Logarithmus nur von positiven Zahlen errechnet
werden kann, nehmen wir nur die Beträge.
=
-1 ln |x-2| +8 ln
|x-4| +c
Unecht gebrochenrationale Funktionen müssen zuerst in ganzrationale und echt gebrochenrationale Funktionen zerlegt werden. Dies geschieht durch Partialdivision.
2.BEISPIEL:
Die quadratische Funktion im Nenner wird mit Hilfe ihrer Nullstellen x1 = -2 und x2 = +3 in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegt:
=
Für die Partialbruchzerlegung wählen wir den Ansatz:
=
+
Für die Addition wird auf den Hauptnenner erweitert und dann ausmultipliziert:
=
=
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich, dass der Ausdruck vor dem x (A+B) sieben ergeben muss und (+3A-2B) dem entsprechend zwölf ( siehe Ausgangsgleichung): -5x+9 = (A+B)x (+3A-2B)
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
-5= A+ B
9= 3A-2B
Umstellen nach den Parametern A und B: A= (-5-B)
9= 3(-5-B)-2B
9=-15 -3B -2B |+15
24=-5B |:(-5)
B=-4.8
A= (-5+4.8)= -0.2
Man kann also schreiben:
=
=
Die
Stammfunktion bilden:
Da
der natürliche Logarithmus nur von positiven Zahlen errechnet
werden kann, nehmen wir nur die Beträge.
=
-0.2 ln |x-2| -4.8
ln |x+3| +c