Übungen zur Analysis [Januar 2002]


Bestimmen sie die Parameterder folgenden Funktionen, welche diese Punkte durchlaufen.


1. A[4/1] B[2/3]


Gleichungen subtrahieren



2. A[4/1] B[2/3]


Gleichungen subtrahieren



3. A[4/1] B[2/3]


Gleichungen dividieren



4. A[4/1] B[2/3]


Gleichungen dividieren




5. A[4/1] B[2/3]


a isolieren




Bestimmen Sie mittels Kurvendiskussion den Graph dieser Funktionen.


1.



Definitionsbereich:



Symmetrie:keine Symmetrie vorhanden



Schnittpunkt y-Achse: x=0 y=5


Nullstelle: y=0 x=5



Verhalten im Unendlichen:



lokale Extrema:

hinreichende Bedingung nicht erfüllt, es gibt keine Extrema, da nur linear



Monotonie: f(x) ist streng monoton fallend



Keine Wendepunkte oder Polstellen vorhanden.



Graphische Darstellung:



2. Definitionsbereich:


Symmetrie:keine Symmetrie


Schnittpunkt mit der y-Achse: s=0 y= +10.5


Nullstellen: y=0


x1=3.5 x2=3

Verhalten im Unendlichen:



lokale Extrema: EP [3.25/-0.125]


Minima

Monotonie: s1=0 s2= EP=3.25 s3=6

f(s1)=10.5 > f(s2)=-0.0625 < f(s3)=7.5


monoton fallend monoton steigend


Wendestellen:


hinreichende Bedingung nicht erfüllt


Es sind keine Wende- oder Polstellen vorhanden.



Graphische Darstellung:




3. Definitionsbereich:

Symmetrie: keine Symmetrie


Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 y=9


Nullstellen: y=0 |:9

|

| ln

ln von 0 ist n.d. keine Nullstellen

Verhalten im Unendlichen:


lokale Extrema:


|

| ln

ln von 0 ist n.d. keine Extremstellen


Monotonie: im Bereich x1=-1 bis x2=6


monoton fallend


Es sind keine Wende- oder Polstellen vorhanden.


Graphische Darstellung:



4. Definitionsbereich:


Symmetrie: keine Symmetrie


Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 ln von 0 n.d. Kein schnittpunkt


Nullstellen: y=0


x2=4.598


Verhalten im Unendlichen:



lokale Extrema: EP [ 1.6903304 / 3.048289 ]


|

| (-a)

| e

| :c


Maxima


Monotonie: x1=0.1 x2=1.69 x3=4

l(x1)=0.69 < l(x2)=3.05 > l(x3)=2.75


monoton wachsend monoton fallend


Wendestellen:hinreichende Bedingung nicht erfüllt!


Keine Wende- oder Polstellen vorhanden.


Graphische Darstellung:


5. Definitionsbereich:


Definitionslücken: Nenner=0

x1= 1.069045 x2= -1.069045


Zähler! hinreichende Bedingung erfüllt




Symmetrie: keine Symmetrie



Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0 y=-2



Nullstellen: y=0 x0= -0.727272



Verhalten im Unendlichen:




lokale Extrema: keine lokalen Extrema





|:


einsetzen in p-q-Formel


negative Wurzel=n.d.




Monotonie: x1=-5 x2=-1.07 x3=1.07 x4=5



Wendestellen:



ABLEITUNGEN:










2.Ableitung Null setzen (es wird nur der Zähler benötigt).


|: 4.2109



Suchen der Nullstelle durch Probieren: x=0 0.831176

x=-0.5 -0.462665


Erste Schätzung: xo= -0.3-0.028039


NEWTON'SCHES NÄHERUNGSVERFAHREN:



x1= -0.2874887

x2= -0.2883391

x3= -0.2883393


Die dritte Näherung bringt bereits eine Übereinstimmung bis auf sechs Stellen hinter dem Komma. x= -0.288339


POLYNOMDIVISION: Weitere Nullstellen suchen.


=

Erhaltene quadratische Gleichung nach p-q-Formel lösen:

negative Wurzel ist nicht definiert!


Es sind keine weiteren Nullstellen, also auch keine weiteren Wendestellen vorhanden. Für die erhaltene Nullstelle bei x= -0.288339 ist nun die hinreichende Bedingung zu prüfen.




hinreichende Bedingung erfüllt!



Die Wendestelle befindet sich bei WP [-0.288339/-1.3017674]




Graphische Darstellung:



Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten und der dazu senkrechten Geraden durch den Punkt [4/1] für alle diese Graphen.


1.


Tangentengleichung:

Orthogonalengleichung:


2.


Tangentengleichung:

Orthogonalengleichung:


3.


Tangentengleichung:

Orthogonalengleichung:


4.


Tangentengleichung:

Orthogonalengleichung:



Tangentengleichung:

Orthogonalengleichung:

Die Funktion f(s) hat an allen Stellen s mit s>0 je eine Tangente. Geben Sie die Gleichung dieser Tangentenschar an.


Ausgangsgleichung (2.Aufgabe)


Erste Ableitung = Anstieg der Tangente




Tangentengleichung


y entspricht f(s) , x entspricht s


nach n umgestellt


n durch obigen Ausdruck ersetzt


Ausdrücke für f(s) und f'(s) einsetzen


zusammenfassen


Einsetzen von a für s als üblicher Parameter



Gleichung der Tangentenschar





Graphische Darstellung: