Mathematik 2.Semester - 3.Übung
1. Aufgabe :
Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen folgender inhomogener linearer Gleichungssysteme
a.)
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile - (( 2* 2.Zeile ) + 1.Zeile )
2.Zeile = 2.Zeile - ( 2 * 1.Zeile )
3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile
1. Lösung
allgemeine Lösung
1. Lösung + allgemeine Lösung von Aufgabe 1a des zweiten Übungsblattes
b.)
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile + 1.Zeile
2.Zeile = 2.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )
eindeutige Lösung
Lösung
c.)
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile + 1.Zeile
2.Zeile = 2.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )
es existiert keine Lösung
, da zwischen der zweiten und der dritten Gleichung ein eindeutiger
Widersspruch entstanden ist. In der zweiten Gleichung wäreund
in der dritten Gleichung
.
d.)
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile + 1.Zeile
2.Zeile = 2.Zeile + ( 2 * 1.Zeile )
1. Lösung
spezielle
Lösung des inhomogenen Systems
2.Lösung
allgemeine
Lösung des homogenen Systems
allgemeine Lösung
e.)
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 1.Zeile )
2.Zeile = 2.Zeile - ( 4 * 1.Zeile )
keine Lösung, da Widersspruch in den Gleichungen 2. und 3.
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen des folgenden inhomogenen linearen Gleichungssystems:
Lösung: Rangbestimmung
3.Zeile = 3.Zeile - ( 3 * 2.Zeile )
2.Zeile = ( 4 * 2.Zeile ) - 1.Zeile
3.Zeile = 3.Zeile + 2.Zeile
1.Lösung
spezielle
Lösung des inhomogenen Systems
allgemeine Lösungen des homogenen Systems
1.Lösung
2.Lösung
allgemeine Lösung
Aufgabe 3:
Für welche
Wertebesitzt
folgendes System linearer Gleichungen
a.) genau eine Lösung
Lösung: Determinantenbestimmung
das System besitzt genau eine Lösung, wenn die Determinante ungleich Null ist.
Mitternachtsformel
Wennund
gibt
es genau eine Lösung!!!
b.) keine Lösung
Lösung:
Gültigkeit vonund
a = -2:
Rangbestimmung der Koeffizientenmatrix
3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile + ( 4 * 2.Zeile )
Rangbestimmung der erweiterten Koeffizientenmatrix
3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile + ( 4 * 2.Zeile )
Für a = -2 existiert keine Lösung
a = 3:
Rangbestimmung der Koeffizientenmatrix
3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile
Rangbestimmung der erweiterten Koeffizientenmatrix
3.Zeile = 3.Zeile - ( 2 * 1.Zeile ) 2.Zeile = 2.Zeile - 1.Zeile 3.Zeile = 3.Zeile - 2.Zeile
Für a = 3 existieren unendlich viele Lösungen
c.) unendlich viele Lösungen
Lösung: Für a = 3 existieren unendlich viele Lösungen, wie oben bereits berechnet.